16431. Окружность радиуса 3, расположенная вне прямоугольника ABCD
, касается его стороны AB=2
в её середине. Две равные окружности радиуса 2, расположенные вне прямоугольника, касаются прямых AD
и BC
, а также внешним образом первой окружности. Найдите радиус четвёртой окружности, которой внутренним образом касаются первые три.
Ответ. 5,4.
Решение. Пусть искомый радиус четвёртой окружности равен R
, а расстояния от центра искомой окружности до центров данных окружностей радиуса 2 равно x
.
Данная в условии конфигурация симметрична относительно серединного перпендикуляра к отрезку AB
, расстояние между центрами центрами окружностей, касающихся внешним образом, равно сумме их радиусов, а внутренним образом — модулю разности. Отсюда получаем, что расстояние от центра искомой окружности до прямой AB
равно \sqrt{x^{2}-9}
, расстояние от центра данной окружности радиуса 3 до линии центров данных окружностей радиуса 2 равно \sqrt{(3+2)^{2}-(2+1)^{2}}=4
, а расстояние между центром искомой окружности и центром данной окружности радиуса 3 равно 4-\sqrt{x^{2}-9}
. Тогда
(4-\sqrt{x^{2}-9})+3=x=2,~\mbox{или}~\sqrt{x^{2}-9}=5-x.
Из этого уравнения находим, что x=3{,}4
. Следовательно,
R=x+2=5{,}4.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1948, том 22, № 1, задача 16, с. 48