16433. Постройте треугольник по данной вершине A
, основанию D
высоты, проведённой из вершины A
, и точке M
, делящей другую высоту в данном отношении \frac{p}{q}
.
Решение. Через данную точку D
проведём прямую a
, перпендикулярную AD
. Через данную точку M
проведём произвольную прямую, пересекающую прямую a
в некоторой точке P
. На этой прямой отметим точку Q
, для которой \frac{PM}{MQ}=\frac{p}{q}
. Через точку Q
параллельно a
проведём прямую f
. На отрезке AM
как на диаметре построим окружность. Пусть она пересекает прямую f
в точках E
и E'
. Тогда прямые EM
и AE
— пересекают прямую a
в искомых вершинах соответственно B
и C
треугольника ABC
.
Действительно, поскольку точка E
лежит на окружности с диаметром AM
, то BE\perp AC
, т. е. BE
— высота треугольника ABC
, а так как QE\parallel BC
, то из подобия треугольников BMP
и QME
получаем, что
\frac{BM}{ME}=\frac{PM}{MQ}=\frac{p}{q}.
Второй треугольник соответствует точке E'
.
Если точка M
лежит между прямыми a
и f
, задача не имеет решения.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1951, том 24, № 4, задача 72, с. 229