16435. На сторонах BC
и CD
параллелограмма ABCD
внешним (внутренним) образом построены равносторонние треугольники BEC
и DCF
. Докажите, что треугольник AEF
равносторонний.
Решение. Обозначим \angle ABC=\beta
.
Если \beta=120^{\circ}
или \beta=60^{\circ}
, утверждение очевидно. Рассмотрим случай, когда равносторонние треугольники расположены вне параллелограмма, и при этом \beta\gt120^{\circ}
(рис. 1). Тогда
\angle ABE=360^{\circ}-\beta-60^{\circ}=300^{\circ}-\beta,
\angle FCE=60^{\circ}+(180^{\circ}-\beta)+60^{\circ}=300^{\circ}-\beta=\angle ABE,
а так как
CE=BE~\mbox{и}~CF=CD=AE,
то треугольники ABE
и FCE
равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, AE=EF
. Аналогично, AE=AF
. Тогда AF=AE=EF
. Следовательно, треугольник AEF
равносторонний.
Если равносторонние треугольники расположены по-другому (рис. 2), и при этом \beta\gt120^{\circ}
, то
\angle FCE=60^{\circ}+60^{\circ}-(180^{\circ}-\beta)=\beta-60^{\circ},
\angle ABE=\beta-60^{\circ},~\angle FDA=\angle ADC-60^{\circ}=\beta-60^{\circ}.
Значит,
\angle FDA=\angle FCE=\angle FDA.
Следовательно, и в этом случае треугольник AEF
равносторонний.
Если 60^{\circ}\lt\beta\lt120^{\circ}
, то рассуждая аналогично, получим, что
\angle ABE=\angle FCE=\angle FDE=\beta\pm60^{\circ};
если \beta\lt60^{\circ}
, то
\angle ABE=\angle FCE=\angle FDA=60^{\circ}\pm\beta,
причём знак «+
» берётся в случае внешнего расположения треугольников, а «-
» — в случае внутреннего.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1952, том 26, № 1, задача 120, с. 51