16436. На сторонах параллелограмма ABCD
как на гипотенузах внешним (внутренним) образом построены равнобедренные прямоугольные треугольники. Докажите, что вершины их прямых углов являются вершинами квадрата.
Решение. Рассмотрим случай, когда построенные прямоугольные треугольники расположены вне параллелограмма ABCD
с углом \alpha
при вершине A
.
Пусть P
, M
, B
и O
— вершины прямых углов таких треугольников с гипотенузами CD
, AD
, AB
и BC
соответственно. Треугольники CPD
и ANB
равны по гипотенузе и острому углу, поэтому PD=AN
. Кроме того,
\angle PDM=360^{\circ}-2\cdot45^{\circ}-(180^{\circ}-\alpha)=90^{\circ}+\alpha=\angle MAN~\mbox{и}~DM=MA,
поэтому треугольники PDM
и NAM
равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, PM=MN
и \angle PMD=\angle NMA
. Тогда
\angle PMN=\angle PMD+\angle DMN=\angle NMA+\angle DMN=\angle DMA=90^{\circ}.
Таким образом, две соседние стороны четырёхугольника MNOP
равны и перпендикулярны. Аналогично для любых двух соседних сторон. Следовательно, MNOP
— квадрат.
Аналогично для случая, когда равнобедренные прямоугольные треугольники построены на сторонах параллелограмма внутренним образом.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1953, том 26, № 3, задача 134, с. 162