16437. Высоты треугольника ABC
пересекаются в точке H
, углы при вершинах A
, B
и C
треугольника равны \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно, P
— произвольная точка плоскости треугольника ABC
. Докажите, что
(AP^{2}-AH^{2})\tg\alpha+(BP^{2}-BH^{2})\tg\beta+(CP^{2}-CH^{2})\tg\gamma=PH^{2}(\tg\alpha+\tg\beta+\tg\gamma).
Решение. Пусть AD
, BE
и CD
— высоты треугольника ABC
. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке.
Прямоугольные треугольники AHE
и BEC
подобны, поэтому
\frac{BC}{AH}=\frac{BE}{AE}=\tg\alpha~\Rightarrow~BC=AH\tg\alpha.
Аналогично,
AC=BH\tg\beta,~AB=CH\tg\gamma.
По теореме косинусов из треугольников AHP
, BHP
и CHP
получаем
PH^{2}+AH^{2}-AP^{2}=2PH\cdot AH\cos\angle AHP,
PH^{2}+BH^{2}-BP^{2}=2PH\cdot BH\cos\angle BHP,
PH^{2}+CH^{2}-CP^{2}=2PH\cdot CH\cos\angle CHP.
Тогда
\tg\alpha(PH^{2}+AH^{2}-AP^{2})=2PH\cdot AH\tg\alpha\cos\angle AHP=2PH\cdot BC\cos\angle AHP,
\tg\beta(PH^{2}+BH^{2}-BP^{2})=2PH\cdot BH\tg\beta\cos\angle BHP=2PH\cdot AC\cos\angle BHP,
\tg\gamma(PH^{2}+CH^{2}-CP^{2})=2PH\cdot CH\tg\gamma\cos\angle CHP=2PH\cdot AB\cos\angle CHP.
Докажем, что сумма правых частей этих равенств равна 0. Отсюда будет следовать, что и сумма левых частей равна 0, а значит, — и доказываемое равенство.
Итак,
BC\cos\angle AHP+AC\cos\angle BHP+AB\cos\angle CHP=
=BC\cos\angle AHP-AC\cos(\angle AHP-\angle AHE)-AB\cos(\angle AHF-\angle AHP)=
=BC\cos\angle AHP-AC(\cos\angle AHP\cos\angle AHE-\sin\angle AHP\sin\angle AHE)-
-AB(\cos\angle AHF\cos\angle AHP+\sin\angle AHF\sin\angle AHP)=
=\cos\angle AHP(BC-AC\cos\angle AHE-AB\cos\angle AHF)+\sin\angle AHP(AC\sin\angle AHE-AB\sin\angle AHF)
=\cos\angle AHP(BC-AC\cos\gamma-AB\cos\beta)+\sin\angle AHP(AC\sin\gamma-AB\sin\beta)=
=\cos\angle AHP(BC-CD-BD)+\sin\angle AHP(AD-AD)=0.
Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1953, том 26, № 3, задача 138, с. 166