1644. Основания трапеции равны a
и b
(a\gt b)
. Отрезки, соединяющие середину большего основания с концами меньшего основания, пересекают диагонали трапеции в точках M
и N
. Найдите MN
.
Ответ. \frac{ab}{a+2b}
.
Указание. Пусть K
— середина большего основания AD
трапеции ABCD
, M
и N
— точки пересечения отрезков KB
и KC
с диагоналями AC
и BD
соответственно. Найдите коэффициент подобия треугольников KMN
и KBC
.
Решение. Пусть K
— середина большего основания AD
трапеции ABCD
, M
и N
— точки пересечения отрезков KB
и KC
с диагоналями AC
и BD
соответственно. Из подобия треугольников AMK
и CMB
следует, что
\frac{KM}{MB}=\frac{AK}{BC}=\frac{a}{2b}.
Поэтому \frac{KM}{KB}=\frac{a}{a+2b}
. Аналогично \frac{KN}{KC}=\frac{a}{a+2b}
. Следовательно, треугольники KMN
и KBC
подобны и
MN=BC\cdot\frac{a}{a+2b}=\frac{ab}{a+2b}.