16446. Точка D
лежит на стороне BC
остроугольного треугольника ABC
со сторонами BC=a
, CA=b
и AB=c
и углами \beta
и \gamma
при вершинах B
и C
соответственно. Докажите, что если отрезок AD
есть среднее арифметическое (геометрическое, гармоническое) отрезков b
и c
, а угол между прямыми AD
и BC
равен \delta
, то \sin\delta
есть среднее гармоническое (геометрическое, арифметическое) величин \sin\beta
и \sin\gamma
.
Решение. Пусть \angle BDC=\delta
. Обозначим AD=d
. По теореме синусов из треугольников ABD
и ACD
получаем
\frac{c}{d}=\frac{\sin\delta}{\sin\beta},~\frac{b}{d}=\frac{\sin(180^{\circ}-\delta)}{\sin\gamma}=\frac{\sin\delta}{\sin\gamma},
откуда
c=\frac{d\sin\delta}{\sin\beta},~b=\frac{d\sin\delta}{\sin\gamma}.
1. Пусть d=\frac{b+c}{2}
. Тогда
d=\frac{\frac{d\sin\delta}{\sin\gamma}+\frac{d\sin\delta}{\sin\beta}}{2}~\Rightarrow~\frac{\frac{1}{\sin\beta}+\frac{1}{\sin\gamma}}{2}=\frac{1}{\sin\delta}~\Rightarrow~\frac{1}{\frac{\frac{1}{\sin\beta}+\frac{1}{\sin\gamma}}{2}}=\sin\delta~\Rightarrow~\sin\delta=\frac{2\sin\beta\sin\gamma}{\sin\beta+\sin\gamma}.
2. Пусть d=\sqrt{bc}
. Тогда
d=\sqrt{\frac{d\sin\delta}{\sin\gamma}\cdot\frac{d\sin\delta}{\sin\beta}}=\frac{d\sin\delta}{\sqrt{\sin\gamma\sin\beta}}~\Rightarrow~\sin\delta=\sqrt{\sin\beta\sin\gamma}.
3. Пусть d=\frac{2bc}{b+c}
. Тогда
d=\frac{2bc}{b+c}=\frac{2\cdot\frac{d\sin\delta}{\sin\gamma}\cdot\frac{d\sin\delta}{\sin\beta}}{\frac{d\sin\delta}{\sin\gamma}+\frac{d\sin\delta}{\sin\beta}}~\Rightarrow~\sin\beta+\sin\gamma=2\sin\delta~\Rightarrow~\sin\delta=\frac{\sin\beta+\sin\gamma}{2}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1957, том 30, № 4, задача 280, с. 225