16449. Точка O
, лежащая внутри треугольника ABC
, соединена с его вершинами; X
, Y
и Z
— проекции точки O
на прямые BC
, CA
и AB
соответственно; AO
и YZ
пересекаются в точке D
, BO
и ZX
— в точке E
, CO
и XY
— в точке F
. Докажите, что
\frac{AZ}{ZB}\cdot\frac{BX}{XC}\cdot\frac{CY}{YA}=\frac{ZD}{DY}\cdot\frac{YF}{FX}\cdot\frac{XE}{EZ}.
Решение. Точки A
, Z
, O
и Y
лежат на окружности с диаметром OA
, поэтому треугольник AZD
подобен треугольнику YOD
, а треугольник DOZ
— треугольнику DYA
. Тогда
\frac{AZ}{ZD}=\frac{YO}{OD}~\mbox{и}~\frac{DO}{OZ}=\frac{DY}{YA}~\Rightarrow~\frac{AZ}{ZD}\cdot\frac{DY}{YA}=\frac{YO}{OZ}.
Аналогично,
\frac{BX}{XE}\cdot\frac{EZ}{ZB}=\frac{ZO}{OX}~\mbox{и}~\frac{CY}{YF}\cdot\frac{FX}{XC}=\frac{OX}{YO}.
Перемножив соответствующие части этих трёх равенств, получим требуемый результат.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1961, том 34, № 6, задача 432, с. 365