16451. Хорда DE
окружности с центром O
перпендикулярна диаметру AB
. Окружность с центром J
вписана в криволинейный треугольник, ограниченный отрезками AC
, DE
и дугой AE
исходной окружности. Докажите, что прямая DJ
пересекает диаметр AB
в точке касания с катетом AC
вписанной окружности треугольника ACD
.
Решение. Пусть радиус исходной окружности равен 1, I
— центр вписанной окружности с центром I
и радиусом r
, вписанной в треугольник ACD
, а R
— радиус окружности из условия задачи, вписанной в криволинейный треугольник.
Заметим, что утверждение задачи равносильно равенству
\frac{r}{CD}=\frac{R}{CD+R}.
Обозначим \angle AOD=\theta
(0^{\circ}\lt\theta\lt180^{\circ}
). Тогда
CD=OD\sin(180^{\circ}-\theta)=\sin\theta,~AD=\frac{CD}{\sin\left(90^{\circ}-\frac{\theta}{2}\right)}=\frac{\sin\theta}{\cos\frac{\theta}{2}}=2\sin\frac{\theta}{2},
AC=CD\tg\frac{\theta}{2}=\sin\theta\cdot\frac{\sin\frac{\theta}{2}}{\cos\frac{\theta}{2}}=2\sin^{2}\frac{\theta}{2}.
Пусть S
и p
— соответственно площадь и полупериметр треугольника ACD
. Тогда
r=\frac{S}{p}=\frac{CD\cdot AC}{CD+AC+AD}=\frac{\sin\theta\cdot2\sin^{2}\frac{\theta}{2}}{\sin\theta+2\sin^{2}\frac{\theta}{2}+2\sin\frac{\theta}{2}}=
=\frac{2\sin^{2}\frac{\theta}{2}}{1+\frac{\sin\frac{\theta}{2}}{\cos\frac{\theta}{2}}+\frac{1}{\cos\frac{\theta}{2}}}=\frac{2\sin^{2}\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}}{\cos\frac{\theta}{2}+\sin\frac{\theta}{2}+1}.
Пусть M
и N
— точки касания с отрезком AC
рассматриваемых окружностей с центрами I
и J
соответственно. Тогда
OJ=OP-JP=1-R,~NO=OC-CN=-\cos\theta-R.
По теореме Пифагора
OJ^{2}=ON^{2}+JN^{2},~\mbox{или}~(1-R)^{2}=(\cos\theta+R)^{2}+R^{2},
откуда получаем квадратное уравнение
R^{2}+2R(1+\cos\theta)+\cos^{2}\theta-1=0
с корнями
R=-1-\cos\theta\pm\sqrt{2+2\cos\theta}=-2\cos^{2}\frac{\theta}{2}\pm2\cos\frac{\theta}{2}.
Условию задачи удовлетворяет только положительный корень
R=-2\cos^{2}\frac{\theta}{2}+2\cos\frac{\theta}{2}=2\cos\frac{\theta}{2}\left(1-\cos\frac{\theta}{2}\right).
Тогда
\frac{r}{CD}=\frac{\frac{2\sin^{2}\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}}{\cos\frac{\theta}{2}+\sin\frac{\theta}{2}+1}}{2\cos\frac{\theta}{2}\left(1-\cos\frac{\theta}{2}\right)}=\frac{\sin\frac{\theta}{2}}{1+\sin\frac{\theta}{2}+\cos\frac{\theta}{2}},
\frac{R}{CD+R}=\frac{1}{1+\frac{CD}{R}}=\frac{1}{1+\frac{\sin\theta}{2\cos\frac{\theta}{2}\left(1-\cos\frac{\theta}{2}\right)}}=\frac{1-\cos\frac{\theta}{2}}{1-\cos\frac{\theta}{2}+\sin\frac{\theta}{2}},
\frac{r}{CD}=\frac{R}{CD+R}~\Leftrightarrow~\frac{\sin\frac{\theta}{2}}{1+\sin\frac{\theta}{2}+\cos\frac{\theta}{2}}=\frac{1-\cos\frac{\theta}{2}}{1-\cos\frac{\theta}{2}+\sin\frac{\theta}{2}}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\sin\frac{\theta}{2}\left(1-\cos\frac{\theta}{2}+\sin\frac{\theta}{2}\right)=\left(1-\cos\frac{\theta}{2}\right)\left(1+\sin\frac{\theta}{2}+\cos\frac{\theta}{2}\right)
Простое раскрытие скобок показывает справедливость последнего равенства. Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1963, том 36, № 5, задача 513, с. 324