16455. Центр описанной окружности треугольника лежит внутри треугольника. Докажите, что периметр треугольника по крайней мере вдвое превосходит диаметр окружности
Решение. Пусть центр описанной окружности треугольника ABC
лежит внутри треугольника. Тогда треугольник ABC
остроугольный. Значит, по крайней мере два угла треугольника не меньше 45^{\circ}
(иначе третий угол тупой). Пусть это углы при вершинах B
и C
.
Проведём диаметр AD
окружности. Точки B
и C
лежат по разные стороны от прямой AD
,
Пусть P
— точка пересечения AD
и BC
, а Q
— проекция точки B
на диаметр AD
. Тогда AB\geqslant AQ
и BP\geqslant BQ
. В прямоугольном треугольнике BQD
известно, что
\angle BDQ=\angle BDA=\angle BCA\geqslant45^{\circ},
поэтому BQ\geqslant QD
. Значит,
AB+BP\geqslant AQ+BQ\geqslant AQ+QD=AD.
Аналогично,
AC+CP\geqslant AD.
Следовательно,
2AD\leqslant(AB+BP)+(AC+CP)=(AB+AC)+(BP+CP)=AB+AC+BC.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1965, том 38, № 2, задача 560, с. 120