16457. Четырёхугольник площади S
разбит диагоналями на четыре треугольника с площадями A
, B
, C
и D
. Докажите, что
A\cdot B\cdot C\cdot D=\frac{(A+B)^{2}(B+C)^{2}(C+D)^{2}(D+A)^{2}}{S^{4}}.
Решение. Докажем, что \frac{A}{A+B}=\frac{A+D}{S}
. Действительно,
\frac{A}{A+B}=\frac{A+D}{S}~\Leftrightarrow~\frac{A}{A+B}=\frac{A+D}{A+B+C+D}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~A^{2}+A\cdot B+A\cdot C+A\cdot D=A^{2}+A\cdot D+A\cdot B+B\cdot D~\Leftrightarrow~A\cdot C=B\cdot D.
Последнее равенство верно (см. примечание к задаче 4191).
Аналогично,
\frac{B}{B+C}=\frac{B+A}{S},~\frac{C}{C+D}=\frac{C+B}{S},~\frac{D}{D+A}=\frac{D+C}{S}.
Перемножив эти четыре равенства, получим
\frac{A\cdot B\cdot C\cdot D}{(A+B)(B+C)(C+D)(D+A)}=\frac{(A+B)(B+C)(C+D)(D+A)}{S^{4}}.
Следовательно
A\cdot B\cdot C\cdot D=\frac{(A+B)^{2}(B+C)^{2}(C+D)^{2}(D+A)^{2}}{S^{4}}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1965, том 38, № 4, задача 576, с. 247