16459. Точки D
, E
и F
лежат на сторонах соответственно AB
, BC
и CA
треугольника ABC
, а G
— точка пересечения отрезков AE
и DF
. Докажите, что
\frac{DG}{GF}=\frac{AD}{AF}\cdot\frac{BE}{CE}\cdot\frac{AC}{AB}.
Решение. Из равенства
\frac{BE}{EC}=\frac{S_{\triangle ABE}}{S_{\triangle AEC}}=\frac{\frac{1}{2}AB\cdot AE\sin\angle BAE}{\frac{1}{2}AC\cdot AE\sin\angle EAC}=\frac{AB\sin\angle BAE}{AC\sin\angle EAC}
получаем
\frac{\sin\angle BAE}{\sin\angle EAC}=\frac{BE\cdot AC}{CE\cdot AB}.
Следовательно,
\frac{DG}{GF}=\frac{S_{\triangle ADG}}{S_{\triangle AGF}}=\frac{\frac{1}{2}AD\cdot AG\sin\angle BAE}{\frac{1}{2}AF\cdot AG\sin\angle GAF}=\frac{AD\sin\angle BAE}{AF\sin\angle GAF}=\frac{AD}{AF}\cdot\frac{BE}{CE}\cdot\frac{AC}{AB}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1967, том 40, № 1, задача 626, с. 50