16465. Докажите, что для углов \alpha
, \beta
, \gamma
любого треугольника верно неравенство
\sin\frac{\alpha}{2}+\sin\frac{\beta}{2}+\sin\frac{\gamma}{2}\geqslant\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma.
Решение. Поскольку
\frac{\alpha+\beta}{2}=90^{\circ}-\frac{\gamma}{2},
получаем
\frac{1}{2}(\cos\alpha+\cos\beta)=\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}=\cos\left(90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}\right)\cos\frac{\alpha-\beta}{2}=
=\sin\frac{\gamma}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\leqslant\sin\frac{\gamma}{2}.
Аналогично,
\frac{1}{2}(\cos\beta+\cos\gamma)\leqslant\sin\frac{\alpha}{2},~\frac{1}{2}(\cos\alpha+\cos\gamma)\leqslant\sin\frac{\beta}{2}.
Сложив эти три равенства, получим
\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma\leqslant\sin\frac{\alpha}{2}+\sin\frac{\beta}{2}+\sin\frac{\gamma}{2}.
Что и требовалось доказать.
Равенство достигается тогда и только тогда, когда
\cos\frac{\alpha-\beta}{2}=\cos\frac{\beta-\gamma}{2}=\cos\frac{\alpha-\gamma}{2}=1~\Leftrightarrow~\alpha=\beta=\gamma=60^{\circ},
т. е. тогда и только тогда, когда треугольник равносторонний.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1974, том 47, № 1, задача 860, с. 50