16467. Биссектрисы углов при вершинах B
и C
треугольника ABC
пересекают описанную окружность в точках B_{1}
и C_{1}
соответственно.
а) Докажите, что если углы при вершинах B
и C
равны, то BB_{1}=CC_{1}
.
б) Найдите все треугольники ABC
, для которых BB_{1}=CC_{1}
.
в) Верны ли указанные выше утверждения для биссектрис внешних углов при вершинах B
и C
треугольника ABC
?
Ответ. б) и в) Либо треугольник ABC
равнобедренный с основанием BC
, либо угол при его вершине A
равен 60^{\circ}
.
Решение. Пусть \angle ABC=2\beta
и \angle ACB=2\gamma
. Тогда
\smile BAB_{1}=2\angle B_{1}CB=2(\angle B_{1}CA+\angle ACB)=2(\beta+2\gamma).
Аналогично,
\smile CAC_{1}=2(2\beta+\gamma).
а) Если \beta=\gamma
, то
\smile BAB_{1}=\smile CAC_{1}~\Rightarrow~BB_{1}=CC_{1}.
б) Если BB_{1}=CC_{1}
, то либо \smile BAB_{1}=\smile CAC_{1}
, либо \smile BAB_{1}+\smile CAC_{1}=360^{\circ}
. В первом из этих случаев \beta=\gamma
, т. е. треугольник ABC
равнобедренный с основанием BC
. Во втором —
\beta+2\gamma=2\beta+\gamma=360^{\circ}~\Rightarrow~\alpha+\beta=120^{\circ}~\Rightarrow~\angle BAC=60^{\circ}.
в) Пусть биссектрисы внешних углов при вершинах B
и C
пересекают описанную окружность треугольника ABC
в точках B_{2}
и C_{2}
соответственно. Тогда
\angle B_{1}BB_{2}=\angle C_{1}CC_{2}=90^{\circ}.
Пусть \beta=\gamma
. Тогда по доказанному BB_{1}=CC_{1}
, и прямоугольные треугольники B_{1}BB_{2}
и C_{1}CC_{2}
равны по гипотенузе и катету, поэтому BB_{2}=CC_{2}
. Обратно, если BB_{2}=CC_{2}
, то BB_{1}=CC_{1}
.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1977, том 50, № 3, задача 967, с. 167