16472. Три последовательные стороны четырёхугольника, вписанного в окружность радиуса 72,5, равны 87, 145 и 116. Найдите четвёртую сторону.
Ответ. 100.
Решение. Заметим, что если сумма квадратов двух сторон треугольника равна диаметру описанной окружности, то треугольник прямоугольный.
Пусть радиус окружности, описанной около четырёхугольника ABCD
со сторонами AB=105
, BC=87
и CD=116
, равен 72,5. Тогда диаметр равен 145, и
BC^{2}+CD^{2}=87^{2}+116^{2}=3^{2}\cdot29^{2}+4^{2}\cdot29^{2}=(3^{2}+4^{2})29^{2}=5^{2}\cdot29^{2}=145^{2}.
Значит, треугольник BCD
прямоугольный с прямым углом при вершине C
, а гипотенуза BD=145
— диаметр его описанной окружности, т. е. описанной окружности четырёхугольника ABCD
. Следовательно, треугольник BAD
тоже прямоугольный, и
AD=\sqrt{BD^{2}-AB^{2}}=\sqrt{145^{2}-105^{2}}=5\sqrt{29^{2}-21^{2}}=5\cdot20=100.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1986, том 59, № 1, задача Q705, с. 45 и 53