16474. Дан невыпуклый четырёхугольник ABCD
(см. рис.). Точки I
и J
выбраны так, что DI=CF
и BJ=CE
. Прямая IJ
пересекает прямые AB
и AD
в точках K
и L
соответственно. Докажите, что KJ=IL
.
Решение. На луче AB
отметим точку M
, для которой MI\parallel BE
. На луче AD
отметим точку N
, для которой NJ\parallel DF
. Обозначим DI=CF=a
и BJ=CE=b
.
Треугольник KJB
подобен треугольнику KIM
, поэтому
\frac{KJ}{BJ}=\frac{KI}{MI},~\mbox{или}~\frac{KJ}{b}=\frac{KJ+JI}{MI};
треугольник LJN
подобен треугольнику LID
, поэтому
\frac{JL}{NJ}=\frac{IL}{ID},~\mbox{или}~\frac{JI+IL}{NJ}=\frac{IL}{a};
треугольник NJE
подобен треугольнику DCE
, поэтому
\frac{NJ}{JE}=\frac{DE}{CE},~\mbox{или}~\frac{NJ}{b+CJ}=\frac{a+IC}{b};
треугольник BCF
подобен треугольнику MIF
, поэтому
\frac{BC}{BJ}=\frac{MI}{FI},~\mbox{или}~\frac{b+CJ}{a}=\frac{MI}{a+IC}.
Перемножив эти четыре равенства, получим
\frac{KJ}{b}\cdot\frac{JI+IL}{NJ}\cdot\frac{NJ}{b+CJ}\cdot\frac{b+CJ}{a}=\frac{KJ+JI}{MI}\cdot\frac{IL}{a}\cdot\frac{a+IC}{b}\cdot\frac{MI}{a+IC},
или
\frac{KJ(JI+IL)}{ab}=\frac{IL(KJ+JI)}{ab},
откуда KJ=IL
. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1986, том 59, № 4, задача 1224, с. 245