16479. Периметр четырёхугольника со сторонами a
, b
, c
и d
равен P
. Докажите, что
\frac{abc}{d^{2}}+\frac{bcd}{a^{2}}+\frac{cda}{b^{2}}+\frac{dab}{c^{2}}\gt P,
кроме случая, когда a=b=c=d
.
Решение. a^{3}b^{3}c^{3}+b^{3}c^{3}d^{3}+c^{3}d^{3}a^{3}+d^{3}a^{3}b^{3}=
=\frac{a^{3}b^{3}c^{3}+b^{3}c^{3}d^{3}+c^{3}d^{3}a^{3}}{3}+\frac{b^{3}c^{3}d^{3}+c^{3}d^{3}a^{3}+d^{3}a^{3}b^{3}}{3}+
+\frac{c^{3}d^{3}a^{3}+d^{3}a^{3}b^{3}+a^{3}b^{3}c^{3}}{3}+\frac{d^{3}a^{3}b^{3}+a^{3}b^{3}c^{3}+b^{3}c^{3}d^{3}+}{3}\geqslant
\geqslant\sqrt[{3}]{{a^{6}b^{6}c^{9}d^{6}}}+\sqrt[{3}]{{b^{6}c^{6}d^{9}a^{6}}}+\sqrt[{3}]{{c^{6}d^{6}a^{9}b^{6}}}+\sqrt[{3}]{{d^{6}a^{6}b^{9}c^{6}}}=
=a^{2}b^{2}c^{3}d^{2}+b^{2}c^{2}d^{3}a^{2}+c^{2}d^{2}a^{3}b^{2}+d^{2}a^{2}b^{3}c^{2}=
=a^{2}b^{2}c^{2}d^{2}(a+b+c+d)=a^{2}b^{2}c^{2}d^{2}P.
Следовательно,
\frac{abc}{d^{2}}+\frac{bcd}{a^{2}}+\frac{cda}{b^{2}}+\frac{dab}{c^{2}}\gt P,
так как среди чисел a
, b
, c
и d
есть различные. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1990, том 63, № 1, задача Q759, с. 57