16483. Точка P
лежит внутри треугольника ABC
, а X
, Y
и Z
— точки пересечения медиан треугольников BPC
, CPA
и APB
соответственно. Докажите, что отрезки AX
, BY
и CZ
пересекаются в одной точке.
Решение. Поместим в точки A
, B
, C
и P
одинаковые массы. Тогда центр масс полученной системы материальных точек лежит на каждом из отрезков AX
, BY
и CZ
(и делит каждый из них в отношении 3:1
, считая от A
, B
и C
). Отсюда следует утверждение задачи.
Примечание. Пусть точка P
лежит вне плоскости треугольника ABC
. Тогда отрезки AX
, BY
и CZ
проходят через точку пересечения медиан тетраэдра PABC
(см. задачу 7110). Утверждение остаётся верным и для предельного положения точки P
, т. е. для случая когда P
лежит в плоскости треугольника ABC
.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1991, том 64, № 4, задача Q781, с. 275 и 281