16488. Диагонали AC
и BD
выпуклого четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке E
под прямым углом. Докажите, что точки, симметричные точке E
относительно прямых AB
, BC
, CD
и DA
, лежат на одной окружности.
Решение. Пусть P
, Q
, R
и S
— проекции точки E
на прямые AB
, BC
, CD
и DA
соответственно. При гомотетии с центром E
и коэффициентом 2 четырёхугольник PQRS
переходит в четырёхугольник, вершины которого — точки, симметричные E
относительно этих прямых, поэтому достаточно доказать, что четырёхугольник PQRS
вписанный.
Из точек P
и Q
отрезок BE
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром BE
. Вписанные в эту окружность углы EPQ
и EBQ
опираются на одну и ту же дугу, поэтому \angle EPQ=\angle EBQ
. Аналогично, \angle ERQ=\angle ECQ
, а так как
\angle EBQ+\angle ECQ=90^{\circ}
как сумма острых углов прямоугольного треугольника BEC
, то
\angle EPQ+\angle ERQ=\angle EBQ+\angle ECQ=90^{\circ}.
Аналогично,
\angle EPS+\angle ERS=90^{\circ}.
Значит,
\angle SPQ+\angle QRS=(\angle EPS+\angle EPQ)+(\angle ERQ+\angle ERS)=
=(\angle EPS+\angle ERS)+(\angle EPQ+\angle ERQ)=90^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ}.
Следовательно, четырёхугольник PQRS
вписанный. Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1994, том 67, № 3, задача 1, с. 234
Источник: Математические олимпиады США. —