16489. Точки D
и E
лежат на стороне BC
треугольника ABC
. Окружность, проходящая через точку A
, пересекает лучи AB
, AC
, AD
и AE
в точках P
, Q
, R
и S
соответственно. Докажите, что
\frac{AP\cdot AB-AR\cdot AD}{AS\cdot AE-AQ\cdot AC}=\frac{BD}{EC}.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке.
Пусть AV
— диаметр окружности, а W
, X
, Y
и Z
— проекции точек соответственно B
, C
, D
и E
на прямую AV
(если V
совпадает с P
совпадают, то B
совпадает с W
и т. д.).
Прямоугольные треугольники AVP
, AVQ
, AVR
и AVS
подобны прямоугольным треугольникам ABW
, ACX
, ADY
и AEZ
соответственно, поэтому
\frac{AP}{AV}=\frac{AW}{AB},~\frac{AQ}{AV}=\frac{AX}{AC},~\frac{AR}{AV}=\frac{AY}{AD},~\frac{AS}{AV}=\frac{AZ}{AE},~\mbox{или}
AP\cdot AB=AV\cdot AW,~AQ\cdot AC=AV\cdot AX,~AR\cdot AD=AV\cdot AY,~AS\cdot AE=AV\cdot AZ.
Следовательно,
\frac{AP\cdot AB-AR\cdot AD}{AS\cdot AE-AQ\cdot AC}=\frac{AV\cdot AW-AV\cdot AY}{AV\cdot AZ-AV\cdot AX}=\frac{AV(AW-AY)}{AV(AZ-AX)}=\frac{YW}{XZ}=\frac{BD}{EC}.
Что и требовалось доказать.
Аналогично для любого другого случая.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1994, том 67, № 4, задача 1431, с. 307
Источник: Математические олимпиады США. —