16491. Пусть O
и P
— фиксированные точки плоскости, ABCD
— произвольный параллелограмм с центром O
; M
и N
— середины отрезков PA
и PB
соответственно, а прямые CM
и DN
пересекаются в точке Q
. Докажите, что точки O
, P
и Q
лежат на одной прямой, а положение точки Q
на прямой OP
фиксировано и не зависит от параллелограмма ABCD
.
Решение. Медианы CM
и PO
треугольника APC
пересекаются в точке Q_{1}
, которая делит медиану PO
в отношении 2:1
, считая от P
. Медианы DN
и PO
треугольника BPD
пересекаются в точке Q_{2}
, которая делит медиану PO
в отношении 2:1
, считая от P
. Значит, точки Q_{1}
и Q_{2}
совпадают с точкой, которая лежит и на CM
, и на DN
, а значит, совпадает с Q
. Следовательно, точки O
, P
и Q
лежат на прямой PO
.
Точка Q
делит фиксированный отрезок PO
в отношении 2:1
, считая от P
. Следовательно, эта точка не зависит от параллелограмма.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1995, том 68, № 4, задача Q838, с. 307 и 318