16492. Докажите, что
\cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{3\pi}{7}=\frac{1}{8}.
Решение. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC
с углами \frac{\pi}{7}
, \frac{3\pi}{7}
и \frac{3\pi}{7}
при вершинах A
, B
и C
соответственно и основанием BC=1
. На боковой стороне AC
отметим точку D
, для которой AD=DB
. Тогда
\angle ABD=\angle BAD=\frac{\pi}{7},
а по теореме о внешнем угле треугольника
\angle BDC=\angle BAD+\angle ABD=\frac{\pi}{7}+\frac{\pi}{7}=\frac{2\pi}{7}=\angle CBD.
Тогда CD=CB=1
.
Обозначим
AB=AC=x,~AD=BD=y.
Из равнобедренных треугольников BDC
, ADB
и ABC
получаем
\cos\frac{\pi}{7}=\frac{x}{2y},~\cos\frac{2\pi}{7}=\frac{y}{2},~\cos\frac{3\pi}{7}=\frac{1}{2x}.
Следовательно,
\cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}=\frac{x}{2y}\cdot\frac{y}{2}\cdot\frac{1}{2x}=\frac{1}{8}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1996, том 69, № 1, задача Q846, с. 68 и 74