16494. Около неравнобедренного непрямоугольного треугольника ABC
описана окружность с центром O
. Точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
— середины сторон BC
, CA
и AB
соответственно. На луче OA_{1}
отмечена точка A_{2}
, для которой треугольник OAA_{1}
подобен треугольнику OA_{2}A
. Точки B_{2}
и C_{2}
на лучах соответственно OB_{1}
и OC_{1}
определяются аналогично. Докажите, что прямые AA_{2}
, BB_{2}
и CC_{2}
пересекаются в одной точке.
Решение. Пусть \Gamma
— описанная окружность треугольника ABC
.
Из подобия треугольников OAA_{1}
и OA_{2}A
получаем
\frac{OA_{1}}{OA}=\frac{OA}{OA_{2}}~\Rightarrow~OA_{1}\cdot OA_{2}=OA^{2}=OB^{2}=OC^{2}.
Поскольку \frac{OA_{2}}{OB}=\frac{OB}{OA_{1}}
, треугольники OA_{2}B
и OBA_{1}
с общим углом при вершине O
подобны, а так как OA_{1}\perp BC
, то
\angle OBA_{2}=\angle OA_{1}B=90^{\circ}.
Значит, прямая A_{2}B
касается окружности \Gamma
в точке B
.
Аналогично, прямая A_{2}C
касается окружности \Gamma
в точке C
, а прямые C_{2}A
и C_{2}B
касаются окружности \Gamma
в точках A
и B
соответственно. Таким образом, \Gamma
— вписанная окружность треугольника A_{2}B_{2}C_{2}
. Следовательно (см. задачу 1522), прямые AA_{2}
, BB_{2}
и CC_{2}
пересекаются в одной точке (в точке Жергонна).
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1996, том 69, № 3, задача 3, с. 234
Источник: Математические олимпиады США. — 1995