16495. Дан треугольник ABC
, в котором AB\lt BC\lt CA
. Рассматриваются вписанные в треугольник квадраты со стороной на одной из сторон треугольника и противоположными вершинами на двух других сторонах треугольника. Который из этих квадратов имеет наибольшую площадь?
Ответ. Квадрат, сторона которого лежит на наименьшей стороне треугольника.
Решение. Пусть высоты треугольника ABC
, проведённые из вершин A
, B
и C
равны h_{A}
, h_{B}
и h_{C}
соответственно, а стороны вписанных квадратов со сторонами на BC
и AC
, равны s_{A}
, s_{B}
и s_{C}
соответственно.
Тогда из подобия
\frac{h_{A}-s_{a}}{h_{A}}=\frac{s_{A}}{BC}~\Rightarrow~s_{A}=\frac{BC\cdot h_{A}}{BC+h_{A}}.
Аналогично,
s_{B}=\frac{CA\cdot h_{B}}{AC+h_{B}},~s_{C}=\frac{AB\cdot h_{C}}{AB+h_{C}}.
Поскольку
BC\cdot h_{A}=CA\cdot h_{B}=AB\cdot h_{C}
— удвоенная площадь треугольника ABC
, наибольшая сторона квадрата соответствует наименьшей из величин
BC+h_{A},~CA+h_{B},~AB+h_{C}.
Заметим, что \angle C\ne90^{\circ}
, так как AB
— наименьшая сторона треугольника ABC
. Поскольку
(BC+h_{A})-(CA+h_{B})=(BC+AC\sin\angle C)-(AC+BC\sin\angle C)=(BC-AC)(1-\sin\angle C)\gt0,
то
BC+h_{A}\gt CA+h_{B}~\Rightarrow~s_{A}\lt s_{B}.
Аналогично, s_{B}\lt s_{C}
. Следовательно, наибольшую площадь имеет квадрат со стороной на наименьшей стороне AB
треугольника ABC
.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1996, том 69, № 4, задача Q854, с. 305 и 310