16496. Дан треугольник ABC
со сторонами BC=a
, CA=b
и AB=c
(b\ne c
). Точка M
— середина стороны BC
, \angle BAM=\alpha
, \angle CAM=\beta
и \angle AMB=x
. Докажите, что
\frac{b}{\sin\alpha}=\frac{a\cos x}{\sin(\alpha-\beta)}.
Решение. По теореме синусов из треугольников ACM
и ABC
получаем
\frac{b}{\sin x}=\frac{a}{2\sin\beta}~\Rightarrow~\frac{2\sin\beta}{a}=\frac{\sin x}{b}~\Rightarrow~\frac{2\sin\beta\cos\alpha}{a}=\frac{\sin x\cos\alpha}{b},
\frac{\sin(\alpha+\beta)}{a}=\frac{\sin(\alpha+x)}{b}~\Rightarrow~\frac{\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha}{a}=\frac{\sin\alpha\cos x+\sin x\cos\alpha}{b}~\Rightarrow
\Rightarrow~\frac{\sin\alpha\cos\beta}{a}+\frac{\sin\beta\cos\alpha}{a}=\frac{\sin\alpha\cos x}{b}+\frac{\sin x\cos\alpha}{b}.
Вычитая из этого равенства равенство
\frac{2\sin\beta\cos\alpha}{a}=\frac{\sin x\cos\alpha}{b},
получим
\frac{\sin\alpha\cos\beta-\sin\beta\cos\alpha}{a}=\frac{\sin\alpha\cos x}{b}~\Rightarrow~\frac{\sin(\alpha-\beta)}{a}=\frac{\sin\alpha\cos x}{b}.
Разделив обе части этого равенства на \frac{\sin\alpha\sin(\alpha-\beta)}{ab}
(где \alpha\ne\beta
), получим
\frac{b}{\sin\alpha}=\frac{a\cos x}{\sin(\alpha-\beta)}.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1996, том 69, № 4, задача 1483, с. 309