16497. Около треугольника ABC
с острыми углами при вершинах B
и C
описана окружность. На её дуге BC
, не содержащей точки A
, отмечена точка K
. Хорды AK
и BC
пересекаются в точке L
. Точки M
и N
, лежащие на сторонах соответственно AB
и AC
, — проекции точки L
на эти стороны. Докажите, что если четырёхугольник AMKN
равновелик треугольнику ABC
, то либо AK
— биссектриса угла BAC
, либо AK
— диаметр окружности.
Решение. Обозначим \angle BAK=\alpha_{1}
и \angle CAK=\alpha_{2}
. Пусть радиус описанной окружности треугольника ABC
равен R
. По теореме Птолемея для вписанного четырёхугольника ABKC
получаем
AK\cdot BC=AB\cdot CK+AC\cdot BK,
или
AK\cdot2R\sin(\alpha_{1}+\alpha_{2})=AB\cdot2R\sin\alpha_{2}+AC\cdot2R\sin\alpha_{1}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~AK\sin(\alpha_{1}+\alpha_{2})=AB\sin\alpha_{2}+AC\sin\alpha_{1},
откуда
AK=\frac{AB\sin\alpha_{2}+AC\sin\alpha_{1}}{\sin(\alpha_{1}+\alpha_{2})}=\frac{AB\sin\alpha_{2}+AC\sin\alpha_{1}}{\sin\alpha_{1}\cos\alpha_{2}+\sin\alpha_{2}\cos\alpha_{1}}.
Пусть S=S_{\triangle ABC}=S_{AMKN}
. Тогда
S=S_{\triangle ABL}+S_{\triangle ACL}=\frac{1}{2}AL\cdot AB\sin\alpha_{1}+\frac{1}{2}AL\cdot AC\sin\alpha_{2}=
=\frac{1}{2}AL(AB\sin\alpha_{1}+AC\sin\alpha_{2}),
S=S_{AMKN}=S_{\triangle AMK}+S_{\triangle ANK}=\frac{1}{2}AK\cdot AM\sin\alpha_{1}+\frac{1}{2}AK\cdot AN\sin\alpha_{2}=
=\frac{1}{2}AK(AM\sin\alpha_{1}+AN\sin\alpha_{2})=\frac{1}{2}AK(AL\cos\alpha_{1}\sin\alpha_{1}+AL\cos\alpha_{2}\sin\alpha_{2})=
=\frac{1}{2}\cdot\frac{AB\sin\alpha_{2}+AC\sin\alpha_{1}}{\sin\alpha_{1}\cos\alpha_{2}+\sin\alpha_{2}\cos\alpha_{1}}\cdot AL(\cos\alpha_{1}\sin\alpha_{1}+\cos\alpha_{2}\sin\alpha_{2}).
Значит,
\frac{1}{2}\cdot\frac{AB\sin\alpha_{2}+AC\sin\alpha_{1}}{\sin\alpha_{1}\cos\alpha_{2}+\sin\alpha_{2}\cos\alpha_{1}}\cdot AL(\cos\alpha_{1}\sin\alpha_{1}+\cos\alpha_{2}\sin\alpha_{2})=\frac{1}{2}AL(AB\sin\alpha_{1}+AC\sin\alpha_{2}),
или
\frac{AB\sin\alpha_{2}+AC\sin\alpha_{1}}{\sin\alpha_{1}\cos\alpha_{2}+\sin\alpha_{2}\cos\alpha_{1}}\cdot(\cos\alpha_{1}\sin\alpha_{1}+\cos\alpha_{2}\sin\alpha_{2})=AB\sin\alpha_{1}+AC\sin\alpha_{2}.
После очевидных преобразований получаем равенство
(AB\cos\alpha_{2}-AC\cos\alpha_{1})(\sin^{2}\alpha_{1}-\sin^{2}\alpha_{2})=0.
Если второй сомножитель равен 0, то \alpha_{1}=\alpha_{2}
. Следовательно, AK
— биссектриса угла BAC
.
Если первый сомножитель равен 0, то
\frac{AB}{\cos\alpha_{1}}=\frac{AC}{\cos\alpha_{2}}.
Тогда прямая, проходящая через точку B
перпендикулярно AB
, прямая, проходящая через точку C
перпендикулярно AC
, и прямая AK
пересекаются в точке K
. Следовательно, AK
— диаметр окружности.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1997, том 70, № 2, задача 1495, с. 144