1650. На основании AD
трапеции ABCD
взяты точки K
и L
так, что AK=LD
. Отрезки AC
и BL
пересекаются в точке M
, отрезки KC
и BD
— в точке N
. Докажите, что отрезок MN
параллелен основаниям трапеции.
Указание. Рассмотрите подобные треугольники.
Решение. Рассмотрим случай, когда точка K
расположена между точками A
и L
. Треугольник BMC
подобен треугольнику LMA
, а треугольник BNC
— треугольнику DNK
. Поэтому
\frac{BM}{ML}=\frac{BC}{AL}=\frac{BC}{DK}=\frac{BN}{ND}.
Пусть N_{1}
— точка пересечения прямой, проходящей через точку M
параллельно основаниям трапеции, с диагональю BD
. По теореме о пропорциональных отрезках \frac{BN_{1}}{N_{1}D}=\frac{BM}{ML}
. Следовательно, точки N
и N_{1}
совпадают, и отрезок MN
параллелен основаниям трапеции.
Для случая, когда точка L
расположена между точками A
и K
доказательство аналогично.
Источник: Яковлев Г. Н. и др. Всероссийские математические олимпиады школьников. — М.: Просвещение, 1992. — № 56, с. 13
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 1979-80 VI, III этап, 9 класс
Источник: Саратовская олимпиада. — 1979/1980, III тур, 8 класс
Источник: Андреева А. Н., Барабанов А. И., Чернявский И. Я. Саратовские математические олимпиады. 1950/51—1994/95. — М.: МЦНМО, 2013. — № 706, с. 73