16504. Вне треугольника ABC
с высотой CM
и непрямыми углами при вершинах A
и B
построены треугольники ACP
и BCQ
с прямыми углами при вершинах A
и B
соответственно. Докажите, что прямые AQ
, BP
и CM
пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда \angle BCQ=\angle ACP
.
Решение. Поскольку \angle ABC\ne90^{\circ}
и \angle BAC\ne90^{\circ}
, точка A
не лежит на прямой BP
, а точка B
не лежит на прямой AQ
.
Пусть прямая, проведённая через точку A
перпендикулярно BP
, и прямая, проведённая через точку B
перпендикулярно AQ
, пересекают прямую CM
в точках R
и S
соответственно. Тогда треугольники ACR
и PAB
подобны, так как \angle PBA=\angle ARC
как углы с соответственно перпендикулярными сторонами, а по теореме о внешнем угле треугольника
\angle ACR=\angle CAB+\angle CMA=\angle CAB+\angle CAP=\angle PAB.
Значит, \frac{AC}{AP}=\frac{CR}{AB}
. Аналогично, \frac{BC}{BQ}=\frac{CS}{AB}
. Тогда
CR=\frac{AC\cdot AB}{AP}~\mbox{и}~CS=\frac{BC\cdot AB}{BQ}.
Точки R
и S
совпадают тогда и только тогда, когда
CR=CS~\Leftrightarrow~\frac{AC\cdot AB}{AP}=\frac{BC\cdot AB}{BQ}~\Leftrightarrow~\frac{AC}{AP}=\frac{BC}{BQ}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\ctg\angle ACP=\ctg\angle BCQ~\Leftrightarrow~\angle ACP=\angle BCQ.
Если R
и S
совпадают, то AQ
, BP
и CM
пересекаются в ортоцентре треугольника ABR
.
Обратно, если AQ
, BP
и CM
пересекаются в некоторой точке K
, то K
— ортоцентр треугольника ABR
. Значит, AK\perp BR
, а так как при этом AK\perp BS
, то точки R
и S
совпадают.
Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1998, том 71, № 4, задача 1532, с. 320