16506. Даны концентрические окружности \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
(\Gamma_{2}
внутри \Gamma_{1}
). Первая прямая, проходящая через точку A
окружности \Gamma_{1}
, касается окружности \Gamma_{2}
в точке B
и вторично пересекает окружность \Gamma_{1}
в точке C
. Вторая прямая, проходящая через точку A
, пересекает окружность \Gamma_{2}
в точках E
и F
(E
между A
и F
). Серединные перпендикуляры к отрезкам DE
и CF
пересекаются в точке M
, лежащей на отрезке AB
. Найдите отношение \frac{AM}{MC}
.
Ответ. 5:3
.
Решение. Поскольку B
— середина хорды AC
, то по теореме о касательной и секущей
AE\cdot AF=AB^{2}=\frac{1}{2}AB\cdot2AB=AD\cdot AC~\Rightarrow~\frac{AE}{AD}=\frac{AC}{AF}.
Значит, треугольники AFC
и ADE
с общим углом при вершине A
подобны, поэтому
\angle ACF=\angle AED=180^{\circ}-\angle DEF,
и четырёхугольник DEFC
вписанный. Точка M
пересечения серединных перпендикуляров к сторонам DE
и CF
, лежащая по условию на стороне CD
, — центр его описанной окружности. Значит, M
— середина отрезка CD
.
Пусть AB=AC=8a
и BM=b
. Тогда
AB=BC=4a,~DM=BD+BM=2a+b,~CM=BC-BM=4a-b,
а так как BM=CM
, то 2a+b=4a-b
, откуда b=a
. Значит,
AM=AB+BM=4a+a=5a~\mbox{и}~MC=BC-BM=4a-a=3a.
Следовательно,
\frac{AM}{MC}=\frac{5a}{3a}=\frac{5}{3}.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1999, том 72, № 3, задача 2, с. 245
Источник: Математические олимпиады США. —