16507. ABCD
— вписанный четырёхугольник. Верно ли, что в его плоскости найдётся точка E
, для которой треугольник ABE
подобен треугольнику CDE
?
Ответ. Верно.
Решение. Если AB\parallel CD
, то в качестве точки E
годится точка пересечения диагоналей AC
и BD
трапеции ABCD
.
В противном случае продолжим стороны AB
и CD
до пересечения в точке F
. Пусть, описанные окружности треугольников ACF
и BDF
вторично пересекаются в точке E
. Четырёхугольник BFDE
вписанный, поэтому
\angle ABE=180^{\circ}-\angle FBE=\angle FDE=\angle CDE.
Четырёхугольник AFCE
вписанный, поэтому
\angle BAE=\angle FAE=180^{\circ}-\angle FCE=\angle DCE.
Значит, ABE
подобен треугольнику CDE
по двум углам. Следовательно, требуемая точка E
существует.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 2000, том 73, № 3, задача 1574 с. 241