16508. Докажите, что любого вписанного четырёхугольника ABCD
верно неравенство
|AB-CD|+|AD-BC|\gt2|AC-BD|.
Решение. Пусть диагонали AC
и BD
вписанного четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке E
. Треугольники ABE
и DCE
подобны. Значит, если коэффициент подобия равен k
, а AE=x
, BE=y
и AB=z
, то
DE=kx,~CE=ky,~CD=kz,
|AB-CD|=|z-kz|=|k-1|z,
|AC-BD|=|(x+ky)-(y+kx)|=|k-1|\cdot|x-y|,
а так как по неравенству треугольника z\gt|x-y|
, то
|AB-CD|=|k-1|z\gt|k-1|\cdot|x-y|=|AC-BD|.
Аналогично,
|BC-AD|\gt|AC-BD|.
Сложив эти два неравенства, получим требуемое.
|AB-CD|=|k-1|z\gt\cdot|k-1|\cdot|x-y|=|AB-CD|.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 2000, том 73, № 3, задача 2, с. 248
Источник: Математические олимпиады США. —