16510. Докажите, что для выпуклого пятиугольника ABCDE
равенство
\ctg\angle ABC+\ctg\angle ACB=\ctg\angle AED+\ctg\angle ADE
верно тогда и только тогда, когда верно равенство
\ctg\angle ABD+\ctg\angle ADB=\ctg\angle AEC+\ctg\angle ACE.
Решение. Четырёхугольники AECB
и ADCB
вписанные, поэтому
\angle ABC=180^{\circ}-\angle AEC~\mbox{и}~\angle ACB=\angle ADB.
Аналогично,
\angle AED=180^{\circ}-\angle ABD~\mbox{и}~\angle ADE=\angle ACE.
Следовательно,
\ctg\angle ABC+\ctg\angle ACB=\ctg\angle AED+\ctg\angle ADE~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\ctg(180^{\circ}-\angle AEC)+\ctg\angle ADB=\ctg(180^{\circ}-\angle ABD)+\ctg\angle ACE~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~-\ctg\angle AEC+\ctg\angle ADB=-\ctg\angle ABD+\ctg\angle ACE~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\ctg\angle ABD+\ctg\angle ADB=\ctg\angle AEC+\ctg\angle ACE.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 2001, том 74, № 1, задача 1592, с. 70