16519. Дан треугольник ABC
с углом 60^{\circ}
при вершине A
и биссектрисами AP
и BQ
. Известно, что AB+BP=AQ+QB
. Найдите остальные углы треугольника.
Ответ. 80^{\circ}
, 40^{\circ}
.
Решение. Пусть \angle ABC=2x
и \angle ACB=y
. Тогда \angle ABQ=\angle CBQ=x
, а так как
180^{\circ}=\angle BAC+\angle ABC+\angle ACB=60^{\circ}+2x+y,
то y=120^{\circ}-2x
.
На продолжении стороны AB
за точку B
отложим отрезок BR=BP
, а на луче AQ
отложим отрезок AS=AR
. Докажем, что точки B
, P
и S
лежат на одной прямой.
Поскольку ABP
— внешний угол равнобедренного треугольника PBR
с основанием PR
, то
\angle BRP=\frac{1}{2}\angle ABP=x=\angle QBP.
Поскольку угол при вершине A
равнобедренного треугольника SAR
равен 60^{\circ}
, этот треугольник равносторонний, а так как луч AP
— биссектриса угла при вершине A
этого треугольника, то точки R
и S
симметричны относительно прямой AP
. Тогда PR=PS
и \angle ARP=\angle ASP
, или \angle BRP=\angle PSQ
. Значит,
\angle QBP=\angle BRP=\angle PSQ.
Поскольку
AQ+QS=AB+BR=AB+BP=AQ+QB,
то QS=QB
. Значит, треугольник BQS
равнобедренный, \angle BSQ=\angle QBS
Предположим, что точки B
, P
и S
не лежат на одной прямой. Тогда либо AC\lt AS
, либо AC\gt AS
. В обоих случаях
\angle PBS=|\angle QBP-\angle QBS|=|\angle PSQ-\angle BSQ|=\angle BPS,
поэтому треугольник PBS
равнобедренный, PB=PS
, а так как PR=PS
, то PB=PS=PR
. Значит, все три стороны треугольника BPR
равны. Следовательно, этот треугольник тоже равносторонний. Тогда
\angle ABC=180^{\circ}-\angle PBR=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ},
что невозможно, так как тогда
\angle ACB=180^{\circ}-(60^{\circ}+120^{\circ})=0^{\circ}.
Таким образом, доказано, что точки B
, P
и S
лежат на одной прямой, и поэтому точка S
совпадает с вершиной C
треугольника ABC
.
Треугольник ACR
равносторонний, а так как
60^{\circ}-y=\angle PCR=\angle PRC=60^{\circ}-x,
то y=x
, поэтому x=y=120^{\circ}-2x
, откуда x=40^{\circ}
. Следовательно,
\angle ABC=2x=80^{\circ},~\angle ACB=y=40^{\circ}.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 2002, том 75, № 3, задача 5, с. 236
Источник: Математические олимпиады США. — 2001