16520. Точка A
лежит на окружности с центром O
и радиусом a
. Точка P
лежит на продолжении радиуса OA
за точку A
. Прямая, проведённая через точку P
, пересекает окружность в точках Q
и Q'
. Найдите наибольшую площадь треугольника AQQ'
, если PA=c
.
Ответ. \frac{a^{2}c}{2(a+c)}
.
Решение. Пусть OH
и AH_{1}
— высоты треугольников OQQ'
и AQQ'
, имеющих общее основание QQ'
. Прямоугольные треугольники AH_{1}P
и OHP
подобны с коэффициентом k=\frac{PA}{PO}=\frac{c}{a+c}
. Тогда отношение площадей треугольников OQQ'
и AQQ'
с общим основанием QQ'
равно отношению соответствующих высот, поэтому
S_{\triangle AQQ'}=kS_{\triangle OQQ'}=k\cdot\frac{1}{2}OQ\cdot OQ'\sin\angle QOQ'=\frac{c}{a+c}\cdot\frac{1}{2}a^{2}\sin\angle QOQ'\leqslant\frac{a^{2}c}{2(a+c)},
причём равенство достигается при \angle QOQ'=90^{\circ}
. Следовательно, искомая наибольшая площадь равна \frac{a^{2}c}{2(a+c)}
.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 2003, том 76, № 3, задача A932, с. 233