16523. Точка E
— середина стороны BC
треугольника ABC
. Окружность, проходящая через точки A
и C
, пересекает стороны BA
и BC
в точках G
и E
соответственно. Серединный перпендикуляр к отрезку EC
пересекает сторону AC
в точке F
, причём 3AF=FC
. Докажите, что треугольник FDG
подобен треугольнику ABC
.
Решение. Пусть D
— середина отрезка EC
, H
— точка пересечения прямой, проведённой через точку F
параллельно BC
, со стороной AB
.
Из подобия треугольников AHF
и ABC
получаем, что
HF=\frac{1}{4}BC=DC=ED.
Тогда HDCF
и HDEF
— параллелограммы (причём HDEF
— прямоугольник).
Отметим, что
\angle HGE=\angle AGE,~\angle GED=\angle GEC,~\angle EDH=\angle ECA,~\angle DHG=\angle CAG.
Углы четырёхугольника HGED
соответственно равны углам вписанного четырёхугольника HGEC
, поэтому четырёхугольник HGED
тоже вписанный. Тогда
\angle DFG=\angle DHG=\angle CAB~\mbox{и}~\angle FGD=\angle FHD=\angle ACB.
Следовательно, треугольники FDG
и ABC
подобны (по двум углам). Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 2004, том 77, № 2, задача 1669, с. 159