16524. Окружность, проходящая через вершины A
и B
треугольника ABC
, пересекает его стороны AC
и BC
в точках D
и E
соответственно. Лучи BA
и EF
пересекаются в точке F
, а прямые BD
и CF
— в точке M
. Докажите, что MF=MC
тогда и только тогда, когда MB\cdot MD=MC^{2}
.
Решение. Пусть прямая, проведённая через точку F
параллельно CD
, пересекает прямую BM
в точке G
. Тогда MF=MC
тогда и только тогда, когда четырёхугольник CDFG
— параллелограмм, или тогда и только тогда, когда FD\parallel CG
. Значит, MF=MC
тогда и только тогда, когда \angle GCD=\angle FDA
, или тогда и только тогда, когда
\angle FDA+\angle CGF=180^{\circ}.
Четырёхугольник ABED
вписанный, поэтому \angle FDA=\angle ABE
. Значит, MF=MC
тогда и только тогда, когда
180^{\circ}=\angle FDA+\angle CGF=\angle ABE+\angle CGF,
т. е. четырёхугольник CBFG
вписанный, что равносильно условию
\angle CBM=\angle CBG=\angle CFG=\angle DCF=\angle DCM.
Поскольку у треугольников CDM
и BCM
есть общий угол при вершине M
, то \angle DCM=\angle CBM
тогда и только тогда, когда эти треугольник подобны, т. е. тогда и только тогда, когда
\frac{CM}{DM}=\frac{BM}{CM},
что равносильно условию MB\cdot MD=MC^{2}
. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 2004, том 77, № 2, задача 4, с. 165
Источник: Математические олимпиады США. — 2003, № 4