16525. Точка E
лежит внутри треугольника ABC
, а лучи AE
, BE
и CE
пересекают стороны BC
, CA
и AB
в точках A'
, B'
и C'
соответственно. Докажите, что четырёхугольники EC'BA'
и EB'CA'
равновелики тогда и только тогда, когда BA'=A'C
.
Решение. Пусть BA'=A'C
. По теореме Чевы
\frac{AC'}{C'B}\cdot\frac{BA'}{A'C}\cdot\frac{CB'}{B'A}=1,
откуда \frac{AB'}{B'C}\cdot\frac{AC'}{C'B}
. Значит, B'C'\parallel BC
, поэтому S_{\triangle C'BC}=S_{\triangle B'BC}
, а так как EA'
— медиана треугольника BEC
, то S_{\triangle BEA'}=S_{\triangle CEA'}
. Следовательно,
S_{EC'BA'}=S_{\triangle EB'CA'}.
Обратно, пусть S_{EC'BA'}=S_{\triangle EB'CA'}
. Предположим, что BA'\lt A'C
, а M
— середина стороны BC
. Пусть отрезок AM
пересекает BB'
в точке F
, а луч CF
пересекает пересекает сторону AB
в точке C''
. Тогда аналогично первой части доказательства
S_{EC'BA'}\lt S_{FC''BM}=S_{FB'CM'}\lt S_{EB'CA'}.
Противоречие. Аналогично для BA'\gt A'C
. Следовательно, BA'=A'C
.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 2005, том 78, № 5, задача Q955, с. 405