16529. Пусть B
— точка на окружности с центром O
и диаметром AC
, отличная от A
и C
, D
— точка пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам OA
и OB
, E
— точка пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам OC
и OB
. Докажите, что треугольник DBE
подобен треугольнику ABC
.
Решение. Точка D
— центр окружности \Gamma_{1}
, описанной около треугольника AOB
, а E
— центр окружности \Gamma_{2}
, описанной около треугольника BOC
. Из равенства треугольников DOE
и DBE
(по трём сторонам) следует, что DE
— биссектриса угла BDO
, поэтому вписанный в окружность \Gamma_{1}
угол BAO
равен половине центрального угла ODB
. Значит,
\angle BAC=\angle BAO=\frac{1}{2}\angle BDO=\angle EDB.
Аналогично, ED
— биссектриса угла OEB
, поэтому вписанный в окружность \Gamma_{2}
угол OCB
равен половине центрального угла OEB
. Значит,
\angle ACB=\angle OCB=\frac{1}{2}\angle OEB=\angle DEB.
Следовательно, треугольники DBE
и ABC
подобны по двум углам.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 2007, том 80, № 2, задача 1742, с. 147