1653. На стороне AB
параллелограмма ABCD
расположена точка K
, на продолжении стороны CD
за точку D
— точка L
. Прямые KD
и BL
пересекаются в точке N
, а прямые LA
и CK
— в точке M
. Докажите, что MN\parallel AD
.
Указание. Пусть F
— точка пересечения прямых BC
и LA
. Докажите, что \frac{LN}{NB}=\frac{LM}{MF}
.
Решение. Обозначим
AB=CD=x,~AD=BC=y,~BK=a,~DL=b.
Пусть F
— точка пересечения прямых BC
и LA
, P
— точка пересечения прямой CK
с прямой, проходящей через точку L
параллельно AD
.
Из подобия треугольников BKN
и LDN
следует, что
\frac{LN}{NB}=\frac{DL}{BK}=\frac{b}{a}.
Докажем, что \frac{LM}{MF}=\frac{b}{a}
. Отсюда будет следовать параллельность прямых MN
и FC
, т. е. MN
и AD
.
Действительно, из подобия треугольников FCL
и ADL
находим, что
FC=AD\cdot\frac{CL}{DL}=\frac{y(x+b)}{b},
а из подобия треугольников AEK
и BCK
—
AE=BC\cdot\frac{AK}{BK}=\frac{y(x-a)}{a}.
Поэтому
ED=EA+AD=\frac{y(x-a)}{a}+y=\frac{yx}{a}.
Из подобия треугольников LPC
и DEC
следует, что
PL=DE\cdot\frac{CL}{CD}=\frac{yx}{a}\cdot\frac{x+b}{x}=\frac{y(x+b)}{a}.
Наконец, из подобия треугольников LMP
и FMC
следует, что
\frac{LM}{ME}=\frac{PL}{FC}=\frac{\frac{y(x+b)}{a}}{\frac{y(x+b)}{b}}=\frac{b}{a}.