16533. Точка E
лежит на стороне AB
треугольника ABC
. Отрезок CE
пересекает медиану AD
треугольника ABC
в точке F
, причём \frac{AE}{EB}=\frac{CF}{FE}=\lambda
. Найдите \lambda
.
Ответ. \frac{1+\sqrt{5}}{2}
.
Решение. Поместим в вершины B
и C
массы \lambda
, а в вершину A
— массу 1. Найдём двумя способами центр масс P
системы материальных точек A(1)
, B(\lambda)
и C(\lambda)
.
С одной стороны, поместив в точку D
массу 2\lambda
, получим, что точка P
— центр масс системы, состоящей из точек A_{1}
и D(2\lambda)
. Значит, точка P
лежит на отрезке AD
, причём \frac{AF}{FD}=\frac{2\lambda}{1}=2\lambda
.
С другой стороны, поместив в точку E
массу 1+\lambda
, получим, что точка P
— центр масс системы, состоящей из точек C(\lambda)
и E(1+\lambda)
. Значит, точка P
лежит на отрезке CE
, причём \frac{CP}{PE}=\frac{1+\lambda}{\lambda}
.
Таким образом, точка P
пересечения отрезков AD
и CE
совпадает с F
, а так как \frac{AE}{EB}=\frac{CF}{FE}=\lambda
, то \frac{1+\lambda}{\lambda}=\lambda
, или \lambda^{2}-\lambda-1=0
. Отсюда находим, что \lambda=\frac{1+\sqrt{5}}{2}
(золотое сечение).
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 2009, том 82, № 5, задача Q995, с. 383