16534. Около треугольника ABC
описана окружность. На её дуге BC
, не содержащей точки A
, отмечена точка M
. Из центра I
вписанной окружности треугольника ABC
опущены перпендикуляры IE
и IF
на прямые MB
и MC
соответственно. Докажите, что величина \frac{EI+IF}{AM}
не зависит от положения точки M
.
Решение. Обозначим углы треугольника ABC
при вершинах A
, B
и C
через \alpha
. \beta
и \gamma
соответственно, а \angle BAM=\theta
.
Учитывая, что \frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}+\frac{\gamma}{2}=90^{\circ}
, из прямоугольных треугольников BEI
и CFI
получаем
EI=IB\sin\left(\frac{\beta}{2}+\theta\right)~\mbox{и}~IF=IC\sin\left(\frac{\gamma}{2}+\alpha-\theta\right)=IC\cos\left(\frac{\beta}{2}-\frac{\alpha}{2}+\theta\right).
Пусть радиус вписанной окружности треугольника ABC
равен r
. Тогда
r=IB\sin\frac{\beta}{2}~\mbox{и}~r=IC\sin\frac{\gamma}{2},
поэтому
\frac{EI+IF}{r}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}=\frac{EI\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}}{r}+\frac{IF\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}}{r}=
=\frac{IB\sin\left(\frac{\beta}{2}+\theta\right)\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}}{IB\sin\frac{\beta}{2}}+\frac{IC\cos\left(\frac{\beta}{2}-\frac{\alpha}{2}+\theta\right)\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}}{IC\sin\frac{\gamma}{2}}=
=\sin\left(\frac{\beta}{2}+\theta\right)\sin\frac{\gamma}{2}+\cos\left(\frac{\beta}{2}-\frac{\alpha}{2}+\theta\right)\sin\frac{\beta}{2}=
=\sin\left(\frac{\beta}{2}+\theta\right)\cos\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}\right)+\cos\left(\frac{\beta}{2}-\frac{\alpha}{2}+\theta\right)\sin\frac{\beta}{2}=
=\frac{1}{2}\left(\sin\left(\beta+\theta+\frac{\alpha}{2}\right)-\sin\left(\frac{\alpha}{2}-\theta\right)+\sin\left(\beta+\theta-\frac{\alpha}{2}\right)+\sin\left(\frac{\alpha}{2}-\theta\right)\right)=
=\frac{1}{2}\left(\sin\left(\beta+\theta+\frac{\alpha}{2}\right)+\sin\left(\beta+\theta-\frac{\alpha}{2}\right)\right)=\sin(\beta+\theta)\cos\frac{\alpha}{2},
откуда
FI+IF=\frac{r\sin(\beta+\theta)\cos\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}}.
По теореме синусов
AM=2R\sin\angle ABM=2R\sin(\beta+\theta),
Следовательно, (см. задачу 3225а)
\frac{EI+IF}{AM}=\frac{\frac{r\sin(\beta+\theta)\cos\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}}}{2R\sin(\beta+\theta)}=\frac{r}{4R}\cdot\frac{2\cos\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}}=
=\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}\cdot\frac{2\cos\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}}=2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}=\sin\alpha.
Отсюда вытекает утверждение задачи.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 2009, том 82, № 5, задача 1809, с. 386