16535. Около треугольника ABC
описана окружность с центром O
. Точки A
и O
лежат по одну сторону от прямой BC
. Докажите, что если площадь треугольника ABC
вдвое больше площади треугольника OBC
, то треугольник ABC
прямоугольный.
Решение. Пусть R
— радиус описанной окружности треугольника ABC
, а углы при вершинах A
, B
и C
равны \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно. Тогда
\angle BOC=2\angle BAC=2\alpha,
поэтому
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC\sin\alpha=2S_{\triangle OBC}=2\cdot\frac{1}{2}R^{2}\sin2\alpha,
а так как по теореме синусов
AC=2R\sin\beta~\mbox{и}~AB=2R\sin\gamma,
то
\frac{1}{2}\cdot2R\sin\gamma\cdot2R\sin\beta\cdot\sin\alpha=2\cdot\frac{1}{2}R^{2}\sin2\alpha~\Leftrightarrow~2\sin\gamma\sin\beta=\sin2\alpha~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\sin\gamma\sin\beta=\cos\alpha~\Leftrightarrow~\sin\gamma\sin\beta=\cos(180^{\circ}-\gamma-\beta)\Leftrightarrow~\sin\gamma\sin\beta=-\cos(\gamma+\beta)~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\sin\gamma\sin\beta=-\cos\gamma\cos\beta+\sin\gamma\sin\beta~\Leftrightarrow~\cos\gamma\cos\beta=0.
Значит, \gamma=90^{\circ}
или \beta=90^{\circ}
. Следовательно, треугольник ABC
прямоугольный. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 2010, том 83, № 2, задача Q999, с. 150