16541. Точки A
, B
, C
, D
и E
лежат на окружности \omega
, а точка P
— вне окружности. Эти точки таковы, что прямые PB
и PD
касаются \omega
, точки P
, A
и C
лежат на одной прямой и DE\parallel AC
. Докажите, что прямая BE
проходит через середину отрезка AC
.
Решение. Пусть точка C
лежит между P
и A
(см. рис.), а прямая PA
не проходит через центр O
окружности. Отметим середину M
хорды AC
. Достаточно доказать, что \angle MED=\angle BED
.
Вписанная вписанная в окружность трапеция ACDE
— равнобедренная, значит она симметрична относительно общего серединного перпендикуляра к её основаниям AC
и DE
. Из симметрии и свойства параллельных прямых получаем
\angle AME=\angle MED=\angle MDE=\angle PMD.
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, а прямая, проходящая через середину хорды, перпендикулярна этой хорде. Значит, из точек B
, D
и O
отрезок PO
виден под прямым углом, поэтому эти точки лежат на окружности с диаметром PO
. Поскольку PD=PB
, а PBD
— угол между касательной и хордой, то
\angle MED=\angle PMD=\angle PBD=\angle BED.
Тогда точки E
, M
и B
лежат на одной прямой. Отсюда следует утверждение задачи.
Аналогично для случая, когда точка A
лежит между P
и C
. Если прямая PA
проходит через точку O
, утверждение очевидно.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 2011, том 84, № 4, задача 5, с. 311
Источник: Математические олимпиады США. —