16546. Дан четырёхугольник ABCD
. Пусть A'
, B'
, C'
и D'
— точки пересечения медиан треугольников BCD
, ACD
, ABD
и ABC
. Докажите, что четырёхугольник ABCD
подобен четырёхугольнику A'B'C'D'
с коэффициентом 3.
Решение. Первый способ. Пусть M
— середина стороны CD
. Тогда
\frac{MA'}{MB}=\frac{MB'}{MA}=\frac{1}{3},
поэтому AB=3A'B'
и AB\parallel A'B'
. Аналогично,
BC=3B'C',~BC\parallel B'C',~CD=3C'D'~,CD\parallel C'D',~DA=3D'A',~DA\parallel D'A'.
Стороны четырёхугольника ABCD
соответственно пропорциональны и параллельны сторонам четырёхугольника A'B'C'D'
. Следовательно, четырёхугольник ABCD
подобен четырёхугольнику ABCD
, причём коэффициент подобия равен \frac{AB}{A'B'}=3
.
Второй способ. Поместим в вершины четырёхугольника ABCD
единичные массы. Пусть O
— центр полученной системы материальных точек A(1)
, B(1)
, C(1)
, D(1)
. Тогда
\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0},
а так как A'
— центр масс системы B'C'D'
, то
\overrightarrow{OA'}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}.
Аналогично,
\overrightarrow{OB'}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OB},~\overrightarrow{OC'}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OC},~\overrightarrow{OD'}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OD}.
Тогда при гомотетии с центром O
и коэффициентом -\frac{1}{3}
четырёхугольник ABCD
перейдёт в четырёхугольник A'B'C'D'
. Отсюда следует утверждение задачи.
Примечание. Аналогичное утверждение верно для любого n
-угольника (n\gt3
). В этом случае коэффициент гомотетии равен -\frac{1}{n-1}
.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 2013, том 86, № 2, задача 1891, с. 149