16547. Точки P
, Q
и R
лежат на сторонах соответственно BC
, CA
и AB
треугольника ABC
. Пусть \omega_{A}
, \omega_{B}
и \omega_{C}
— описанные окружности треугольников AQR
, BRP
и CPQ
соответственно. Отрезок AP
вторично пересекает окружности \omega_{A}
, \omega_{B}
и \omega_{C}
в точках X
, Y
и Z
соответственно. Докажите, что YX:XZ=BP:PC
.
Решение. Окружности \omega_{A}
, \omega_{B}
и \omega_{C}
в одной точке (точке Микеля, см. задачу 680). Обозначим её M
.
Четырёхугольник BPMY
вписан в окружность \omega_{B}
, поэтому
\angle XYM=\angle PYM=\angle PBM.
Четырёхугольник ARXM
вписан в окружность \omega_{A}
, поэтому
\angle MXY=\angle MXA=\angle MRA.
Четырёхугольник BPMR
вписан в окружность \omega_{B}
, поэтому
\angle MRA=\angle ABM=\angle MPB.
Значит,
\angle XYM=\angle PBM~\mbox{и}~\angle MXY=\angle MPB,
поэтому треугольники MYX
и PBM
подобны по двум углам. Значит, \frac{YX}{BP}=\frac{MX}{MP}
.
Аналогично подобны треугольники MXZ
и MPC
, поэтому \frac{MX}{MP}=\frac{XZ}{PC}
. Следовательно,
\frac{YX}{BP}=\frac{XZ}{PC}~\Rightarrow~\frac{YX}{XZ}=\frac{BP}{PC}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 2013, том 86, № 4, задача 3, с. 298
Источник: Математические олимпиады США. —