16548. Четырёхугольник XABY
вписан в полуокружность \omega
с диаметром XY
. Отрезки AY
и BX
пересекаются в точке P
, точка Z
— основание перпендикуляра, опущенного из точки P
на прямую XY
. Точка C
— лежит на \omega
, причём прямая XC
перпендикулярна AZ
. Пусть отрезки AY
и CX
пересекаются в точке Q
. Докажите, что
\frac{BY}{XP}+\frac{CY}{XQ}=\frac{AY}{AX}.
Решение. Из прямоугольных треугольников BXY
, AXY
и AXP
получаем
BY=XY\cos\angle BYX,~AX=XY\cos\angle AXY,~XP=\frac{AX}{\cos\angle AXP}=\frac{XY\cos\angle AXY}{\cos\angle AXP},
откуда
\frac{BY}{XP}=\frac{XY\cos\angle BYX}{\frac{XY\cos\angle AXY}{\cos\angle AXP}}=\frac{\cos\angle BYX\cos\angle AXP}{\cos\angle AXY}.
Аналогично, из прямоугольных треугольников CXY
, AXY
и AXQ
получаем
CY=XY\cos\angle CYX,~AX=XY\cos\angle AXY,~XQ=\frac{AX}{\cos\angle AXQ}=\frac{XY\cos\angle AXY}{\cos\angle AXQ},
откуда
\frac{CY}{XQ}=\frac{XY\cos\angle CYX}{\frac{XY\cos\angle AXY}{\cos\angle AXQ}}=\frac{\cos\angle CYX\cos\angle AXQ}{\cos\angle AXY}.
Значит,
\frac{BY}{XP}+\frac{CY}{XQ}=\frac{\cos\angle BYX\cos\angle AXP+\cos\angle CYX\cos\angle AXQ}{\cos\angle AXY}.
Прямые AX
и CY
параллельны, так как обе они перпендикулярны прямой CX
, поэтому \angle CYX=\angle AZX
. Кроме того, из точек A
и Z
отрезок XP
виден под прямым углом, значит эти точки лежат на окружности с диаметром XP
, и четырёхугольник AXZP
вписанный. Тогда \angle AZX=\angle APX
, значит,
\angle CYX=\angle AZX=\angle APX=90^{\circ}-\angle AXP.
Аналогично,
\angle BXY=\angle PXZ=\angle PAZ=\angle AXQ,
поэтому
\angle BYX=90^{\circ}-\angle BXY=90^{\circ}-\angle AXQ.
Значит,
\cos\angle BYX=\sin\angle AXQ~\mbox{и}~\sin\angle CYX=\cos\angle AXP.
Тогда
\frac{BY}{XP}+\frac{CY}{XQ}=\frac{\cos\angle BYX\cos\angle AXP+\cos\angle CYX\cos\angle AXQ}{\cos\angle AXY}=
=\frac{\sin\angle AXQ\sin\angle CYX+\cos\angle CYX\cos\angle AXQ}{\cos\angle AXY}=\frac{\cos(\angle CYX-\angle AXQ)}{\cos\angle AXY}.
Поскольку четырёхугольник ACYX
вписанный, то
\angle AXQ=\angle AXC=\angle CYA~\Rightarrow~\angle CYX-\angle AXQ=\angle CYX-\angle CYA=\angle AYX.
Следовательно,
\frac{BY}{XP}+\frac{CY}{XQ}=\frac{\cos(\angle CYX-\angle AXQ)}{\cos\angle AXY}=\frac{\cos\angle AYX}{\cos\angle AXY}=\frac{\sin\angle AXY}{\cos\angle AXY}=\tg\angle AXY=\frac{AY}{AX}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 2013, том 86, № 4, задача 5, с. 305
Источник: Математические олимпиады США. —