16549. Докажите, что треугольник со сторонами a
, b
и c
существует тогда и только тогда, когда a
, b
и c
— положительные числа, для которых
2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2c^{2}a^{2}\gt a^{4}+b^{4}+c^{4}.
Решение. Докажем, что
2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2c^{2}a^{2}=a^{4}+b^{4}+c^{4}=(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a).
Действительно,
(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)=(a+b)^{2}-c^{2})(c^{2}-(a-b)^{2})=
=(a+b)^{2}c^{2}-(a^{2}-b^{2})^{2}-c^{4}+c^{2}(a-b)^{2}=
=(a^{2}c^{2}+2abc^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}-2a^{2}b^{2}+b^{4})-c^{4}+(c^{2}a^{2}-2abc^{2}+b^{2}c^{2})=
=a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}-a^{4}-b^{4}-c^{4}
Пусть треугольник со сторонами a
, b
и c
существует. Тогда
a+b+c\gt0,~a+b-c\gt0,~a+c-b\gt0,~b+c-a\gt0
(последние три неравенства — это неравенства треугольника). Следовательно,
=a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})-a^{4}-b^{4}-c^{4}=(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)\gt0.
Пусть теперь для положительных чисел a
, b
и c
верно неравенство
a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})-a^{4}-b^{4}-c^{4}\gt0.
Без ограничения общности будем считать, что a\leqslant b\leqslant c
. Тогда
a+b+c\gt0,~b+c-a\gt0~\mbox{и}~a+c-b\gt0,
а так как
(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)\gt0,
то a+b-c\gt0
, т. е. a+b\gt c
, причём c
— наибольшее из чисел a
, b
и c
. Следовательно, существует треугольник со сторонами a
, b
и c
.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 2013, том 86, № 5, задача Q1035, с. 382