16552. Точка P
лежит внутри треугольника ABC
со сторонами BC=a
, AC=b
и AB=c
. Лучи AP
, BP
и CP
пересекают стороны BC
, AC
и AB
в точках A'
, B'
и C'
соответственно. Докажите, что если
AB'+AC'=\frac{b+c}{2},~BC'+BA'=\frac{c+a}{2}~\mbox{и}~CA'+CB'=\frac{a+b}{2},
то A'
, B'
и C'
— середины сторон BC
, AC
и AB
соответственно.
Решение. Вычитая из суммы двух первых данных равенств третье, получим
AB'+AC'+BC'+BA'-CA'-CB'=c=AC'+BC'~\Rightarrow
\Rightarrow~AB'+BA'-CA'-CB'=0~\Rightarrow~AB'+BA'=CA'+CB'.
Аналогично,
BC'+CB'=AB'+AC'.
Предположим, что A'
— не середина BC
, например, BA'\lt CA'
. Тогда
CB'\lt AB'~\mbox{и}~AC'\lt BC',
поэтому
BA'\cdot CB'\cdot AC'\lt CA'\cdot AB'\cdot BC',~\mbox{или}~\frac{AB'}{CB'}\cdot\frac{CA'}{BA'}\cdot\frac{BC'}{AC'}\gt1,
что противоречит теореме Чевы. Аналогично для BA'\gt CA'
.
Следовательно, A'
— середина стороны BC
. Аналогично, B'
и C'
— середины сторон AC
и AB
соответственно. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 2014, том 87, № 1, задача Q1037, с. 62