16553. Точка M
лежит на стороне BC
треугольника ABC
, причём углы BAM
и CAM
острые. Точки R
и S
—проекции точки N
, лежащей на отрезке AM
, на стороны AB
и AC
соответственно, а точки P
и Q
— проекции точки M
на стороны AB
и AC
соответственно. Докажите, что если треугольники BMP
и MCQ
равновелики, а также трапеции MNRP
и NMQS
равновелики, то M
— середина BC
. Кроме того, если AB\ne AC
, то \angle BAC=90^{\circ}
.
Решение. Заметим, что если гипотенуза прямоугольного треугольника равна c
, а его острый угол равен \theta
, то площадь треугольника равна
\frac{1}{2}c\sin\theta\cdot c\cos\theta=\frac{1}{4}c^{2}\sin2\theta.
Пусть \angle BAM=\alpha
и \angle MAC=\beta
. Тогда
S_{MNRP}=S_{\triangle MAP}-S_{\triangle NAR}=\frac{1}{4}(AM^{2}-AN^{2})\sin2\alpha.
Аналогично,
S_{NMQS}=\frac{1}{4}(AM^{2}-AN^{2})2\sin\beta.
Из условия следует, что \sin2\alpha=\sin2\beta
. Значит, либо 2\alpha=2\beta
, либо 2\alpha+2\beta=180^{\circ}
, т. е. либо \alpha=\beta
, либо \alpha+\beta=90^{\circ}
.
Если \alpha=\beta
, то прямоугольные треугольники MPA
и MQA
равны по гипотенузе и острому углу. Значит, они равновелики, а так как равновелики треугольники BMP
и MCQ
, то тогда равновелики треугольники MBA
и MCA
. Следовательно,
\frac{1}{2}AB\cdot AM\sin\alpha=S_{\triangle MBA}=S_{\triangle MCA}=\frac{1}{2}AC\cdot AM\sin\alpha.
Отсюда получаем, что AB=AC
и треугольник MBA
равен треугольнику MCA
, а значит, MB=MC
.
Если \alpha\ne\beta
, то \alpha+\beta=90^{\circ}
. В этом случае треугольники PBM
и QMC
подобны, а так как они равновелики, т. е. коэффициент подобия равен 1, то они равны. Следовательно, MB=MC
.
Утверждение задачи полностью доказано.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 2014, том 87, № 1, задача 1911, с. 63