16557. Дан треугольник ABC
. Найдите его угол при вершине A
, если стороны треугольника равны
а) AB=5
, BC=7
, AC=8
;
б) AB=3
, BC=7
, AC=8
.
Ответ. 60^{\circ}
.
Решение. Заметим, что в пункте а) треугольник остроугольный, а в пункте б) — тупоугольный, так как
5^{2}+7^{2}=25+49\gt64=8^{2}\gt9+49=3^{2}+7^{2}.
Опустим высоту CH
. Для треугольника пункта а) точка H
лежит на стороне AB
(рис. 1), а для треугольника пункта б) — на продолжении стороны AB
за точку B
(рис. 2). Обозначим AH=x
. Применив теорему Пифагора к прямоугольным треугольникам ACH
и BCH
, получим для пунктов а) и б) уравнения
8^{2}-x^{2}=7^{2}-(5-x)^{2}~~\mbox{и}~~8^{2}-x^{2}=7^{2}-(x-3)^{2}
соответственно. Откуда в обоих случаях x=4
.
В прямоугольном треугольнике ACH
гипотенуза AC=8
вдвое больше катета AH=x=4
, следовательно, \angle A=\angle HAC=60^{\circ}
.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 2015, том 88, № 4, задача 6, с. 306